Apuntes de JAM. Repartos proporcionales


 



Repartos proporcionales.


Un reparto proporcional consiste en repartir una cantidad según un criterio. Ejemplo, repartir 30.000 euros según las edades de varias personas.
Existen dos clases de repartos: directos e inversos. Un reparto es directo proporcionalmente cuando, según el criterio, a mayor número le corresponde mayor cantidad; e inversamente proporcional cuando a menor número le corresponde mayor cantidad.

Repartos directamente proporcionales. (Una magnitud):

1) Tres socios han iniciado un negocio con los siguientes capitales: 50.000 euros, 80.000 euros y 100.000 euros. Al cabo de un año queda un beneficio de 460.000 euros. ¿Cómo debe repartirse este beneficio?

Como hemos visto en las proporciones, hacemos el planteamiento, la proporción y la resolución

 

 
 
Beneficio del Socio nº 1 (x)
50.000 x   50.000   230.000     50.000*460.000   2.300.000  
    ;
=
; x =
;
= 100.000 €
230.000 460.000   x   460.000     230.000   23  
                       
Beneficio del Socio nº 2 (y)
80.000 y   80.000   230.000     80.000*460.000   3.680.000  
    ;
=
; y =
;
= 160.000 €
230.000 460.000   y   460.000     230.000   23  
                       
Beneficio del Socio nº 3 (z)
100.000 z   100.000   230.000     100.000*460.000   46.000.000  
    ;
=
; z =
;
= 200.000 €
230.000 460.000   z   460.000     230.000   23  

 

2) Un padre quiere repartir 50.000 euros entre sus tres hijos, directamente proporcional a sus edades, de 12, 16 y 22 años. ¿Cuánto corresponde a cada uno?

Planteamiento
  Años Euros
Primero 12 x
Segundo 16 y
Tercero 22 z
Total 50 50.000

Reparto

12

x

12

50

12*50.000

600.000

;


=


;

x =


;


=

12.000 €

50

50.000

x

50.000

50

50

16

y

16

50

16*50.000

80.000

;


=


;

y =


;


=

16.000 €

50

50.000

y

50.000

50

50

22

z

22

50

22*50.000

110.000

;
=
; z=
;
=

22.000 €

50 50.000 z 50.000 50 50

Para el hijo de 12 años, 12.000 €; para el de 16, 16.000 € y para el de 22, 22.000 €


 

Repartos directamente proporcionales. (Dos magnitudes):

Cuando el criterio de reparto es de dos o más magnitudes hay que convertirlas en una sola. Para ello, las dos magnitudes se multiplican y el reparto se hace en relación a los resultados de las multiplicaciones. Ejemplo:

1) Antonio empieza un negocio con 20.000 euros. A los 5 meses se le une Jaime que aporta 30.000 euros y a los 8 meses, Luis que aporta 10.000 euros. En ese año obtienen un beneficio de 108.000 euros. ¿Cuánto corresponderá a cada uno?

Planteamiento. Primero se multiplican las magnitudes
  Euros Meses Beneficios       Beneficios
Antonio 20.000 12 x 20.000*12 = 240.000 x
Jaime 30.000 7 y 30.000*7 = 210.000 y
Luis 10.000 7 z 10.000*4 = 40.000 z
Totales           490.000 108.000
               

Reparto para Antonio

240.000 x   240.000   490.000     240.000*108.000   24*108.000    
    ;
=
; x =
;
=

  52.897,96 €

490.000 108.000   x   108.000     490.000   49    
Reparto para Jaime
210.000 y 210.000 490.000 210.000*108.000 21*108.000

    ;
=
; y =
;
=

  46.285,71 €

490.000 108.000   y   108.000     490.000   49    
Reparto para Luis
40.000 z   40.000   490.000     40.000*108.000   4*108.000    
     
=
; z =
;
=

   8.816,33 €

490.000 108.000   z   108.000     490.000   49    

Comprobamos el reparto. Suma

=

108.000,00 €

Hemos calculado los resultados con tres decimales y aplicado el redondeo comercial
.(5 milésimas o más, se añade una centésima; menos de cinco se pierden)

 

Repartos proporcionales inversos.

Un reparto proporcional es inverso cuando a menor criterio le corresponder mayor beneficio.
Primero hay que convertir la proporción en directa por el siguiente método:
Para resolver un reparto proporcional inverso las cantidades de criterio pasan a ser denominador de una fracción..

Ejemplo 1: Repartir 60.000 euros proporcionalmente inverso a los números 1 2 y 3.

1 x En repartos directamente proporcionales sería fácil estimar que la cantidad a repartir se corresponderían con los números de criterio. 1   1   1 En repartos proporcionales inversos observamos que ya cambian los criterios, que son inversamente proporcionales a los planteados. Y pasamos a la forma de resolverlos.
2 y
;
;
3 z 1   2   3

A continuación las tres fracciones se pasan a igual denominador (Recordemos que ya lo hicimos en sumar fracciones de distinto denominador).
Primero hallamos el m.c.m. de 1, 2 y 3 y el resultado sería el denominador común. (m.c.m. = 6)

6   3   2

Y el reparto se hace según los nuevos numeradores

6 x

Este es el nuevo planteamiento de criterios para repartir la cantidad inversamente proporcional


;
;
3 y
6   6   6 2 z
          11 60.000

Y resolvemos como en los Repartos directamente proporcionales.
 

Al nº 1

x 6*60.000/11= 32.727,27

Al nº 2  

y 3*60.000/11= 16.363,64

Al nº 3

z 2*60.000/11= 10.909,09
  60.000 a repartir

Sumamos para comprobar:

60.000,00

 


 

Ejemplo 2: En un festival de cine se reparten 20.000 euros entre el 4º, 5º y 6º clasificados. Averiguar cuánto le corresponde a cada uno.

4 x Este es el planteamiento con los criterios del problema 1   1   1 Y este es el primer paso al tratarse de proporciones inversas.
5 y
;
;
6 z 4   5   6


Hallamos el mínimo común múltiplo de 4, 5 y 6 para encontrar el denominador común. Resultado: 60. Y los tres numeradores se definen cada uno así: 60/4*1 =15; 60/5*1 =12 y 60/6*1 =10.
 

15   12   10

Tenemos ya las fracciones con igual denominador. Y los numeradores son los números de criterio para repartir inversamente proporcional.

15 x

Este es el planteamiento resultante del problema. Convertido para resolver como proporción directa.


;
;
12 y
60   60   60 10 z
          37 20.000
 

Y resolvemos:
 

4º clasificado

15 x 15*20.000/37= 8.108,00 €

5º clasificado  

12 y 12*20.000/37= 6.487,00 €

6º clasificado

10 z 10*20.000/37= 5.405,00 €
 

37

20.000 € a repartir

Sumamos para comprobar:

20.000,00 €
 


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