Medidas de tendencia central (Localización)

Contenido

Media Aritmética
Mediana
Moda

 

 

Media Aritmética

La media aritmética de n observaciones de la variable X se denotará por el símbolo

y se define como la suma de ellas dividida por n. Simbólicamente:

Ejemplo: La media aritmética de los números 3, 9, 12, 5 y 6 es:

 

Si se grafican estos puntos se obtiene:

 

En la figura es claro que la media aritmética corresponde geométricamente al punto de equilibrio de los datos.

En una tabla de frecuencias, la media aritmética se calcula suponiendo que todas las observaciones en una clase son iguales a su valor medio (mi), por lo que la contribución de la i-ésima clase a la suma es fimi. Por lo tanto, se calcula la media por la ecuación:

Esta ecuación también puede re-escribirse como:

Donde:

fi = frecuencia de la clase i-ésima
mi = Valor medio de la clase i-ésima
fRi = Frecuencia relativa de la clase i-ésima

 

Ejemplo: Calcular la media de la siguiente tabla de distribución de frecuencias:

intervalos

Punto medio de clase (mi)

Conteo

fi

fAi

FRi

FRAi

(07.7 , 11.7]

9.7

||||| ||||| ||||| |||

18

18

18/90

18/90

(11.7 , 15.7]

13.7

||||| ||||| |||

13

31

13/90

31/90

(15.7 , 19.7]

17.7

||||| ||||| ||||| ||||| ||||

24

55

24/90

55/90

(19.7 , 23.7]

21.7

||||| ||||| ||||| ||

17

72

17/90

72/90

(23.7 , 27.7]

25.7

||||| ||||| |||

13

85

13/90

85/90

(27.7 , 31.7]

29.7

 

0

85

0/90

85/90

(31.7 , 35.7]

33.7

||||

4

89

4/90

89/90

(35.7 , 39.7]

37.7

|

1

90

1/90

90/90

TOTAL

90

90

90/90

90/90

 

Se tiene la siguiente formula:

Se van a tomar todos los valores de la tabla de la columna fi y mi ; se va a sustituir en la fórmula anterior y queda como:

 

 

También la media se puede calcular con la formula:

Al tomar los datos de la Tabla de Frecuencias para fRi y mi y sustituirlos en la fórmula el resultado queda de la siguiente manera:

 

 

Note que los resultados soun un poco diferentes por el número de decimales utilizados para los calculos.

 

Ejercicios de Medias

 

 

 

Mediana

La mediana (Me) de un conjunto de n números ordenados de menor a mayor, es el número central en el arreglo. Si n es un número impar (non), sólo hay un valor central en el arreglo. Si n es un número par, hay dos valores centrales y la mediana debe tomarse como la media aritmética de estos dos valores.

 

Ejemplo: Calcular la mediana de los números 3, 9 , 12, 5 y 6

 

3, 4, 6, 9, 12

Me = 6

 

Nótese que la mediana es un valor más típico del conjunto anterior que la media aritmética:

Ejemplo: Se tienen las siguientes edades tomadas de un grupo de 10 estudiantes del grupo del curso de Introducción a los Diseños Experimentales del Colegio de Postgraduados, se desea conocer cual sería su media y cuál sería su mediana.

25, 27, 35, 28, 30, 24, 25, 29, 32, 37

  1. Cálculo de la media:

  2. Cálculo de la mediana:

Primero se ordenan los datos de menor a mayor:

24, 25, 25, 27, 28, 29, 30, 32, 35, 37

Puesto que n = 10(número par), hay dos valores centrales, que son 28 y 29. La mediana es la media aritmética de estos dos valores. Es decir

 

 

Para localizar la mediana en una tabla de frecuencias sólo busque los valores que indiquen aproximadamente la mitad de la frecuencia relativa acumulada (aproximadamente el 50%), ya que la mediana es un valor que divide a los datos en mitades.

 

Como los datos son 90 (número par) la mediana esta localizada entre la observación cuadragésima quinta y cuadragésima sexta (45a y 46a) que corresponde al intervalo entre 15.7 y 19.7 como se muestra en la tabla:

 

intervalos

Punto medio de clase (mi)

Conteo

fi

fAi

FRi

FRAi

(07.7 , 11.7]

9.7

||||| ||||| ||||| |||

18

18

18/90

18/90

(11.7 , 15.7]

13.7

||||| ||||| |||

13

31

13/90

31/90

(15.7 , 19.7]

17.7

||||| ||||| ||||| ||||| ||||

24

55

24/90

55/90

(19.7 , 23.7]

21.7

||||| ||||| ||||| ||

17

72

17/90

72/90

(23.7 , 27.7]

25.7

||||| ||||| |||

13

85

13/90

85/90

(27.7 , 31.7]

29.7

 

0

85

0/90

85/90

(31.7 , 35.7]

33.7

||||

4

89

4/90

89/90

(35.7 , 39.7]

37.7

|

1

90

1/90

90/90

TOTAL

90

90

90/90

90/90

 

Otra forma de cálculo sería utilizando la siguiente fórmula:

Donde:

Me es mediana.
L es Límite inferior de la clase mediana.
n es Tamaño de muestra.
FA es Frecuencia Acumulada precedente a la clase mediana.
f es Frecuencia absoluta de la clase mediana.
c es amplitud del intervalo de clase.

De la tabla anterior se han tomando los valores necesarios para sustituir en la fórmula y obtener el valor de la Mediana:

L = 15.7
n = 90
FA = 31
f = 24
c = 4

Al sustituir en la formula queda la siguiente expresión:

 

 

Ejercicios de Medianas

 

 

 

 

Moda

La moda (Mo) de un conjunto de datos es el valor (si existe) que ocurre con mayor frecuencia. Si es un valor único decimos que la distribución de frecuencias es unimodal, si tiene dos o más valores con la misma frecuencia máxima, decimos que la distribución es bimodal, trimodal, entre otras.

 

La moda es una medida de tendencia central que es poco usada por las siguientes razones:

a) Puede ocurrir que no exista.

b) A menudo no es un valor único.

 

Retomando el ejemplo de las edades tomadas de un grupo de 10 estudiantes del grupo del curso de Introducción a los Diseños Experimentales, el cálculo de la moda sería:

25, 27, 35, 28, 30, 24, 25, 29, 32, 37

 

La moda de este conjunto de datos es 25 puesto que tiene una frecuencia de 2, mientras los demás valores tienen una frecuencia de 1.

 

Si se comparan los valores obtenidos por este conjunto de datos se tiene:

 

No siempre los datos obtenidos por la media, la mediana y la moda coinciden, este es un ejemplo en el cual se nota más este concepto.

 

En una tabla de frecuencias, la moda se define como el valor medio de la clase cuya frecuencia tiene el valor numérico mayor, la cual recibe el nombre de clase modal.

 

 

intervalos

Punto medio de clase (mi)

Conteo

fi

fAi

FRi

FRAi

(07.7 , 11.7]

9.7

||||| ||||| ||||| |||

18

18

18/90

18/90

(11.7 , 15.7]

13.7

||||| ||||| |||

13

31

13/90

31/90

(15.7 , 19.7]

17.7

||||| ||||| ||||| ||||| ||||

24

55

24/90

55/90

(19.7 , 23.7]

21.7

||||| ||||| ||||| ||

17

72

17/90

72/90

(23.7 , 27.7]

25.7

||||| ||||| |||

13

85

13/90

85/90

(27.7 , 31.7]

29.7

 

0

85

0/90

85/90

(31.7 , 35.7]

33.7

||||

4

89

4/90

89/90

(35.7 , 39.7]

37.7

|

1

90

1/90

90/90

TOTAL

90

90

90/90

90/90

 

 

Los valores obtenidos utilizando la tabla fueron:

Mo = 17.7 que es el punto medio del intervalo donde la frecuencia absoluta (24) es mayor que los demás, y es de tipo unimodal.

 

 

Ejercicios de Modas

 

 

 

Algún Comentario de esta página escribir E-mail:
jlgcue@colpos.colpos.mx

Copyright © 2002 Jose3, ISEI, CP y FES Zaragoza, UNAM
Texto: José Luis García Cué, María José Marques Dos Santos y José Antonio Santizo Rincón

Home Page: José Luis García Cué