EVENTOS INDEPENDIENTES

 

Cuando A y B son dos eventos con probabilidades positivas, hemos visto que en general la probabilidad condicional del evento B dado el evento A es diferente de la probabilidad del evento B. Sin embargo, cuando se tiene la igualdad: P(B/A) = P(B) es de especial importancia porque esto quiere decir que el evento B no depende o es independiente del evento A. Es decir, no importa si ocurrió o no el evento A puesto que la ocurrencia o no de A no afecta al evento B.

Proposición 3.6: Si B es independiente de A, entonces A es independiente de B.

Demostración: De la definición de probabilidad condicional se tiene

y

Despejando [3.3]

Como B es independiente de A, se tiene: P(B/A) = P(B) y sustituyendo en [3.3] nos conduce a la expresión

Por lo tanto, , de donde , lo que nos indica que A es independiente de B.

 

Proposición 3.7: A y B son independientes si y sólo si

Demostración: Si A y B son independientes, entonces

P(B/A) = P(B) y P(A/B) = P(A) [3.4]

De la definición de probabilidad condicional se derivó la ecuación [3.5]

[3.5]

Sustituyendo [3.4] en [3.5] se tiene:

Por otra parte, si , entonces

y

De donde A es independiente de B y B es independiente de A.

 

 

Ejemplo 30: En una escuela el 20% de los alumnos tiene problemas visuales, el 8% tiene problemas auditivos y el 4% tienen tanto problemas visuales como auditivos, Sean: V los que tienen problemas visuales y VC los que no lo tienen. A los que tienen problemas auditivos y AC los que no los tienen.

  1. ¿Son los dos eventos de tener problemas visuales y auditivos, eventos independientes?
  2. ¿Cuál es la probabilidad de que un niño tenga problemas auditivos si sabemos que tiene problemas visuales?
  3. Complete la siguiente tabla
  4.  

     

    V

    VC

    Total

    A

    0.04

     

    0.08

    AC

         

    Total

    0.20

     

    1.00

  5. ¿Cuál es la probabilidad de que un niño no tenga problemas auditivos si tiene problemas visuales?

Solución:

  1. P(V)P(A) = (0.2)(0.08) = 0.016 y P(VÇ A) = 0.04. Como P(VÇ A) ¹ P(V)P(A), se concluye que V y A no son independientes.
  2. Por diferencias podemos completar la tabla, ya que P(VC) = 1 – 0.20 = 0.80 y P(AC) = 1 – 0.08 = 0.92, por lo tanto
  3.   V

    VC

    Total

    A

    0.04

    0.04

    0.08

    AC

    0.16

    0.76

    0.92

    Total

    0.20

    0.80

    1.00

 

 


PROBABILIDADES MARGINALES

En el ejemplo anterior las probabilidades totales; esto es, la probabilidad de que al elegir un niño al azar, éste tenga problemas visuales es P(V) = 0.20, y la probabilidad de que un niño elegido al azar no tenga problemas auditivos, P(AC) = 0.92. Así como las probabilidades P(VC) = 0.08 y P(A) = 0.08 se denominan probabilidades marginales.

 

 

 

1999 Jose 3
Texto: M. en C. María José Marques Dos Santos
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