Factorización.

1. Procedimientos sencillos de factorización. 

Definición. Dados dos o más factores, se obtiene su producto multiplicándolos. Inversamente, dado un producto, se pueden obtener sus factores; a esta operación se le llama factorización. 

Factorizar una expresión algebraica es hallar dos o más factores cuyo producto es igual a la expresión propuesta.

 

Factorizar un polinomio cuyos términos tienen un factor común.  Por la ley distributiva de la multiplicación, se tiene: 

m( x - y + z ) = mx - my + mz.

Para factorizar este último polinomio basta, pues, proceder a la inversa y escribir:

mx - my + mz = m( x - y + z ).

De esto se deduce que. Para factorizar un polinomio, cuyos términos tienen un monomio factor común, se divide el polinomio entre ese factor común, y se indica el producto del divisor por el cociente obtenido.

Ejemplo: Factorizar el binomio  3a² - 6ab  y el trinomio  5a²bx⁴ - 15ab²x³ - 20ab³x⁴.
Poniendo "3a"  en factor común en la primera expresión se tiene: 
3a² - 6ab = 3a(a - 2b).
Poniendo  "5abx³"  en factor común en el trinomio resulta: 
5a²bx⁴ - 15ab²x³ - 20ab³x⁴ = 5abx³(ax - 3b - 4b²x ).

Observación. En la practica se elige, como factor común, un monomio tal que facilite operaciones subsecuentes. Para ello conviene elegir generalmente el máximo común divisor de los términos del polinomio.
Para obtener dicho máximo común divisor, se calcula el de los coeficientes numéricos de los términos del polinomio, de acuerdo con lo explicado en Aritmética, y se escribe a continuación de el las literales comunes a todos los términos con su menor exponente. Así el máximo común divisor del polinomio
72x²y³ + 60x⁴y² - 84x⁵y⁴   es  12x²y².

 

Factorizar un trinomio cuadrado perfecto. Por multiplicación se obtiene:
(a b)² = a² 2ab + b².

Luego, se tendrá inversamente:
a² 2ab + b²=(a b)².

Por tanto: Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto, se extrae la raíz cuadrada de los términos cuadráticos y se indica la elevación al cuadrado del binomio formado por esas raíces, separadas por el signo del término que es su doble producto.

Factorizar un polinomio cubo perfecto. Procedimiento de una manera análoga a la que se ha seguido, en la factorización de un trinomio cuadrado perfecto, se obtiene:
a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = (a + b)³.
a³ - 3a²b + 3ab² - b³ = (a - b)³.

Ejemplo: Factorizar las expresiones siguientes:
9a² - 24ab + 16b² = (3a)² - 2(3a · 4b) + (4b)² = (3a + 4b)².
27c³ - 54c²d + 36cd² - 8d³ = (3c)³ - 3(3c)²2d + 3·3c(2d)² - (2d)³= (3c - 2d)³.

 

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