Factorización.

3. Factorización por agrupación y por evaluación.

Factorización por agrupación.   Sea el polinomio:

ac + ad + bc + bd,
que se supone provenir del producto de dos factores binomios.

Agrupando los términos de dos en dos, de manera que cada grupo tenga un factor común, se puede escribir:

(ac + ad) + (bc + bd).
Como se ve, el primer grupo es divisible entre   a   y el segundo lo es entre   b ;  resulta por tanto:

(ac + ad) + (bc + bd) = a(c + d) + b(c + d).
poniendo el binomio   c + d   en factor común, se tiene:

ac + ad + bc + bd = (a + b)(c + d).

Para factorizar un polinomio de cuatro términos que se supone provenir de la multiplicación de dos factores binomios:
1º-. Agrúpense convenientemente los cuatro términos en dos binomios tales que cada uno admita un factor común.
2º-. Indíquese, en cada grupo, el producto del factor común por su binomio correspondiente, el cual resultará el mismo en todos ellos, si efectivamente el polinomio dado proviene del producto de dos factores binomios.
3º-. Indíquese el producto del binomio común por la suma algebraica de los otros factores diferentes

Nota: - Pudo haberse agrupado los términos de este otro modo: (ac + bc) + (ad + bd).

Ejemplos:   Factorizar como producto de dos factores:

20ac + 15bc +4ad + 3bd      y      18a³ + 12a² - 15a - 10.

20ac + 15bc +4ad + 3bd = (20ac + 4ad) + (15bc + 3bd) 
                                  = 4a(5c + d) + 3b(5c + d)
                                  = (4a + 3b)(5c + d).

Nota: - Hubiera podido agruparse los términos así: (20ac + 15bc) + (4ad+ 3bd).

18a³ + 12a² - 15a - 10 = (18a³ + 12a²) - (15a + 10)
                                =6a²(3a + 2) - 5(3a + 2)
                                =(6a² - 5)(3a + 2).

 

 

Factorización por evaluación.     Sea el polinomio

x³ + 3x² - x - 3,
que se supone resulta de multiplicar entre sí varios factores binomios de la forma x ± a , x ±b , x ± c , etc.

Los valores que se pueden atribuir a los segundos términos de los binomios divisores, son   ±1  y  ±3, pues estos números son los únicos que dividen exactamente el último término del polinomio propuesto.

Ensayando los diferentes divisores posibles:   x + 1,   x - 1,   x + 3   y   x - 3,  se tiene:
P(-1) = - 1 + 3 + 1 - 3 =0,
P(1) = 1 + 3 - 1 - 3 = 0,
P(-3) = - 27 + 27 + 3 - 3 =0,
P(3) = 27 + 27 - 3 - 3 = 48.

De donde se deduce que el polinomio es divisible entre x + 1,   x - 1   y   x + 3,  pero no lo es entre   x - 3;   por consiguiente:
x³ + 3x² - x - 3 = (x + 1)(x - 1)(x + 3).

Para factorizar un polinomio que se supone resulta de multiplicar entre sí varios binomios de la forma         x ±a,   x ± b ,   x ±c ,   etc.,   se busca sus divisores, aplicando la propiedad del residuo de la división, y se indica el producto de todos los factores así hallados.

Ejemplo:     Factorizar el polinomio  

x³ - 10x² + 23x - 14.
Los divisores de -14 son: ± 1, ± 2, ± 7, ± 14.

Los divisores binomios que hay que comprobar son:
x + 1,  x - 1,  x + 2,  x - 2,  x + 7,  x - 7,  x + 14,  x - 14.

P(-1) = - 1 - 10 - 23 - 14 = - 48,
P(1) = 1 - 10 + 23 - 14 = 0,
P(-2) = - 8 - 40 - 46 - 14 = - 108,
P(2) = 8 - 40 + 46 - 14 = 0,
P(-7) = - 343 - 490 - 161 - 14 = - 1008,
P(7) = 343 - 490 + 161 - 14 = 0,
P(-14) = - 2744 - 1960 - 322 - 14 = - 5040,
P(14) = 2744 - 1960 + 322 - 14 = 1092.

La factorización es, pues, como sigue:
x³ - 10x² + 23x - 14 = (x - 1)(x - 2)(x - 7).

            

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