Factorización.

4. Factorización de un trinomio de la forma x² + mx + n   ó   ax² + mx + n.

 

Factorizar un trinomio de la forma  x² + mx + n.    Teniendo presente que el producto de dos binomios, tales como (x + a)(x + b), es:

(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab,

si se reemplaza   a + b  por  m  y   ab   por   n,   se puede escribir: x² + mx + n = (x + a)(x + b).

Un trinomio de la forma x² + mx + n, proviene del producto de dos binomios cuyo primer término es   x, y los segundos términos son tales que dan por suma el coeficiente de  x, y por producto el término independiente de x.

Ejemplos: 
a)    Sea   x² + 7x +12. 
El producto +12 indica que los factores son del mismo signo, y la suma +7 indica que los dos son positivos.
El producto 12, con factores enteros, puede obtenerse multiplicando   12 por 1,   ó   6 por 2,   ó   4 por 3 . Los dos últimos factores son los buscados, pues su suma es 4 + 3 = 7.
Se tiene, por consiguiente, que:

x² + 7x +12 = (x + 4)(x + 3).

b)    Sea   x² - 5x - 14.
El producto -14 indica que los dos factores son de signo contrario, y, puesto que su suma es negativa, el mayor en valor absoluto debe ser negativo.
El producto -14 con factores enteros, puede obtenerse multiplicando   -14 por 1,   ó   -7 por 2.   La suma de estos dos últimos factores da  -5; por consiguiente, los números buscados son   -7 y 2.   Por lo tanto:
x² - 5x - 14 = (x - 7)(x + 2).

Factorizar un trinomio de la forma  ax² + mx + n.     Los trinomios de la forma ax² + mx + n, proviene de la multiplicación de dos binomios, como se ve en los ejemplos que siguen:

             

Examinando los productos anteriores, se observa que: 1º-. El primer término del trinomio es igual al producto de los primeros términos de cada factor.  2º-. El segundo término es igual a la suma algebraica de los productos del primer término de cada binomio por el segundo término del otro. 3º-. El tercer término es igual al producto de los segundos términos de los binomios.

Un trinomio de la forma   ax² + mx + n   puede presentarse en forma de dos factores binomios tales que el producto de los dos primeros términos sea   ax² , la suma algebraica de los productos del primer término de cada uno por el segundo término del otro dé   mx, y el producto de los segundos términos sea  n.

Ejemplos:
a)    Factorizar   5x² +16x +3.
El primer término  5x² es el producto de   5x por x;   por lo tanto, los primeros términos de los binomios son  5x y  x.
Cuando el producto de los números que constituyen los segundos términos de los binomios es +3, deben ser de mismo signo, es decir, los factores de 3 pueden ser   3 y 1   ó   -3 y -1.   Los factores   -3 y -1 deben desecharse, porque su producto, por los primeros términos daría el coeficiente de x negativo. Quedan por examinar 3 y 1.
Resulta entonces que los binomios pueden ser   5x + 3   y   x + 1   ó   5x + 1   y   x + 3.
Por multiplicación, se ve que los factores son   5x + 1   y   x + 3.
Por tanto:     5x² +16x +3 = (5x + 1)( x + 3).




b)    Factorizar   6x² - x - 15.
El primer termino 6x² puede provenir de multiplicar   3x por 2x,   o bien   6x por x.
El primer supuesto da, como primeros términos de los binomios,   3x y 2x. 
El término -15 del polinomio indica que los segundos términos de los binomios son de signo contrario, y el coeficiente de x del mismo polinomio requiere que el mayor, en valor absoluto, sea negativo; por tanto, dichos segundos términos pueden ser  -15 y  +1,   ó   -5 y +3.
Desde luego, se ve que hay que desechar el primer par de valores, pues el término en x del trinomio propuesto tendría un coeficiente diferente de  -1.
Quedan por examinar los pares de binomios:

3x - 5  y  2x + 3,      3x + 3  y  2x - 5.
Por multiplicación, se ve que los factores son 3x - 5  y  2x + 3, pues con ellos se obtiene, para término medio el trinomio propuesto: 
9x - 10x = -x. 
Por tanto:      6x² - x - 15 = (3x - 5)(2x + 3).
Si la factorización buscada no se hubiera hallado, habría habido necesidad de ensayar otros factores, como:
6x - 15  y  x + 1,     ó     6x - 5  y  x + 3,     etc...

 

Otro procedimiento.  El procedimiento que se acaba de exponer para factorizar un trinomio de la forma ax² + mx + n, resulta a veces un tanto largo, por el ensayo que deben hacerse de los diferentes pares de binomios. Puede seguirse otro más corto, que se indica a continuación, aunque sin demostrarlo, pero de cuyo resultado se da la comprobación.

Para factorizar un trinomio de la forma ax² + mx + n, búsquese dos números cuya suma algebraica sea igual al coeficiente de  x, y su producto sea igual al coeficiente de  x² multiplicado por el término independiente. 
Una vez hallados los dos números, sustitúyase el término  mx por dos términos en  x cuyos coeficientes sean dichos números, y póngase luego en factor, agrupando terminos.

Ejemplos:
a)    Factorizar el trinomio:   3x² + 14x + 8.
Hay que buscar dos términos cuya suma sea 14, y su producto, 8·3 = 24.
El producto 24 puede resultar de  24·1,  12·2,  8·3,  ó  6·4. 
Los únicos factores cuya suma da 14, son  12 y 2; éstos son pues los números buscados, y se puede escribir:

3x² + 14x + 8 = 3x² + 12x + 2x + 8 = 3x(x + 4) + 2(x + 4).
Poniendo el binomio (x + 4) en factor común, resulta:
3x² + 14x + 8 = (x + 4) (3x + 2)

Comprobación:
(x + 4) (3x + 2) = 3x² + 12x + 2x + 8 = 3x² + 14x + 8.

b)    Factorizar el trinomio:   6x² - 13x -5.
Deben buscarse dos números cuya suma sea -13, y su producto, 6(-5)=-30.
El producto de -30 puede resultar de -30·1, -15·2, -6·5, ó -10·3.
Los únicos factores cuya suma es -13 son -15 y 2; luego: 
6x² - 13x -5 = 6x² - 15x + 2x -5 = 3x(2x - 5) + (2x - 5),
6x² - 13x -5 = (2x-5)(3x+1).

Comprobación:
(2x - 5)(3x + 1) = 6x² - 15x + 2x -5 = 6x² - 13x -5.

 

 

            

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